已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N+

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/07/02 20:59:53
已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S1>1，且6Sn=(an+1)(an+2)，n∈N+

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)设数列{bn}满足an(--1)=1，并记Tn为{bn}的前n项和，求证：3Tn+1>log2(an+3)，n∈N+。
(2)中为满足an(2^bn-1)=1
第二小题过程请详细
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(I)由a1=S1=-(a1+1)(a1+2)，解得a1=1或a1=2，

由假设a1=S1>1，因此a1=2，

又由an+1=Sn+1-Sn=-(an+1+1)(an+1+2)--(an+1)(an+2)，

得(an+1+an)(an+1-an-3)=0，

即an+1-an-3=0或an+1=-an，因an>0，故an+1=-an不成立，舍去。

因此an+1-an=3，从而{an}是公差为3，首项为2的等差数列，

故{an}的通项为an=3n-1。

(II)证明：用比较法。由an(--1)=1可解得

bn=log2(1+-)=log2-；

从而Tn=b1+b2+……+bn=log2(-·■……-)。

因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(-·■……-)3·■。

令f(n)=(-·■……-)3·■，

则-=-·（-)3=-。

因(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+7>0，故f(n+1)>f(n)。